2020年IMO金牌得主依嘉的竞赛经验

依嘉是人大附中早培班学生，曾获得2020年IMO金牌，现已被保送进入北京大学学习。

首先，我认为数学学习，除了养成良好的学习习惯外，还应该做到以下两点：

一是要勤于思考。数学学习，不能仅仅停留在会做题，而是要通过做题，找到题目中蕴涵的定理或逻辑，做到举一反三，触类旁通，这样才能提高效率，提升能力。数学题目浩如烟海，题目是做不完的，靠题海战术，不深入思考，学习的效率就太低了。

二是要善于总结。数学学习，重在理解，需要不断总结反思。我会把老师讲过的重点、难点和自己的错题记录在整理本上，定期翻阅。特别是考试前，我都会浏览一下自己的整理本，提醒自己需要注意的事项，在考试的时候能够站在自己平时所学所思所悟的基础上，取得更好的成绩。

一．整体学习经验：

1. 不同同学的目标不同，应根据自己的实际情况设立目标（如省一、省队、集训队或国家队），并根据自己的最终目标进行准备。

2. 记笔记很重要，尤其是要把关键的知识点和思维方法记录下来

3. 尽量不要有短板，通常“逢赌必输”。如果发现了自己有短板，一定要尽快补上，比如可以看专题内容的竞赛书、做相关板块的题目或参加相关培训。

4. 写过程是要特殊训练的，可以把自己的过程给老师和同学看，看他们能不能看懂。一个基本要求是每一步都能让读者看出来是从哪里推导过来的。同时，在考试时，一定不要偷懒，觉得说不清的地方就多写一些。

5. 在写过程之前，可以先写一个“提纲”，以整理一下自己的思路。一方面这可以检查自己是否有伪证，另一方面可以使自己的过程更有条理。

6. 即使一道题不会，也要把自己得到的结论写上去，这样很有可能的得到一些过程分。但不推荐大家去写伪证，因为在正式考试中伪证很难骗到分数，同时这还是一种很不道德的行为。

7. 学习大学的知识对于中学竞赛帮助不大。

二．关于联赛：

（一） 综述

1. 每年联赛的分数线会根据当年联赛难度和所在省份的不同而略有差别，但通常而言，得到一等奖大致要做两道二试题目，而进入省队大致要三道。

2. 联赛备考的最好的办法就是模拟考试，而且要尽量模拟联赛的情况，包括考试时间和过程的书写。

3. 联赛对于需要掌握的知识点的要求通常都不高，因此如果自己的目标在于联赛，就不用去学习相对比较困难的知识点。

4. 联赛模拟题推荐《学数学》的两册中的模拟题，此外《中等数学》增刊的模拟题也不错。

（二） 关于一试

1. 一试十分重要，且偶然性不大，训练好的同学能稳定的高出许多分数。

2. 通常而言，一试得满分或者很高的分数不容易，但是通过训练可以达到九十至一百分左右（一般而言，除了最后一道大题和最后一道填空，其余的都不会很难）。

3. 一试要尤其注意避免出现“低级失误”，如漏掉了正负号。一个解决办法是用一张纸，把自己在做模拟题是出现的失误都记录下来，之后反复去看，并尽量做到相似的错误不出现第二次。

4. 一试是否检查主要看个人习惯，但是推荐至少一些容易检查的题目要看一下。可以再读一下题目，看有没有答非所问，能带入特值的题目（比如求数列通项公式）也一定要带进去算。

5. 一试没有什么“捷径”，只能通过不停的做模拟题来提高。

（三） 关于二试

1. 二试的几何题通常不难，一般只要找到图中隐藏的一个全等、相似或共圆就基本能做出来了。

2. 在联赛中，尽量不要用一些“高级”的办法，比如一些高级定理（如升幂引理）和调整法，容易被判错或者被扣过程分。

3. 联赛对于过程的要求比较高。

4. 高联不会要求比较高级的知识，因此要掌握一些比较基础的方法和思维，但是不需要学习很多非常深入的内容。

三、关于CMO和TST

1. CMO及更高级别的考试中时间都很充足，因此每个题都至少留出一定时间思考，因为即使是最后一道题也完全有可能做出来或者拿到一定的过程分。

2. 在做一道没有思路的题目时，可以把自己想到的可能能做出来的方法都列出来，之后逐一去尝试。

3. 当考试时，如果感觉状态不好，可以稍微休息一下（如去上厕所或者吃点东西），以调整精神状态。

4. 一般来讲，能得到考试中三分之二的分数（即每天两道题）就足以进入下一个阶段，因此要尽量使自己能比较稳定地做出不太难的题目。

5. 在CMO及之后的比赛中，多学一些东西是有帮助的。一般你使用一个定理，只要这个定理确实存在，那么就是可以使用的。（当然，如果使用了一些大定理，如狄利克雷大定理或者与素数相关的估计，可能只有部分分数）

6. CMO第一天考试结束之后，建议不要对答案，也不要和其他同学交流。如果第一天考的不好或者有伪证，很可能会导致自己第二天心态崩盘。

7. 准备CMO或者之后的考试，推荐《走向IMO》、IMO预选题和各国的考试题（可以去AOPS上找）。

四、关于四个板块的学习

（一） 代数部分

1. 在联赛中，二试的代数题以不等式为主，且一般不是很“传统”，即很难直接用均值和柯西就做出来。拿到联赛的不等式，一般要去先猜取等条件，然后可以根据取等条件尝试放缩的办法。

2. 函数方程和多项式在CMO及之后的考试中很重要，推荐做一些国外的题目，比如IMO的预选题。

3. 在CMO或者更高级的考试中，要掌握有关不等式调整法和与偏导相关的知识。

（二） 几何部分

1. 联赛的几何题通常只用全等、相似、共线和共圆，并且一般都不适合使用计算的办法。

2. 在CMO及之后的考试中，计算是一个很常见的办法。推荐大家至少要熟练掌握三角计算的办法，有余力的同学也可以学习一下复数计算的办法。相比之下，使用解析几何或者重心坐标系的题目不是很多，但大家也可以了解一下。

3. 学习几何的关键是要掌握一些常见图形都性质，比如与内切圆相关的图形。大家可以找一个整理本，把见到的比较有用的性质都记录下来。

4. 在CMO及之后的考试中，如果一道题目没有给图，一定要讨论多种情况，避免在一些很显然的情况中扣分。

（三） 数论部分

1. 要记住一些重要的结论，如升幂定理和kummer。

（四） 组合部分

1. 做存在性问题和最值题时，不要一上来就“默认”一个答案，很可能一道题本来不难，但因为猜错了答案就很难做出来了。

2. 组合题的过程往往不好写，可以通过“画图”或者用通俗易懂的语言来方便阅卷老师阅读。通常来讲，只要你的过程被老师看懂了，并且关键的要点都有，就基本能得到满分了。

部分转自陈晨讲数学，供参考。

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