计数是小学奥数一个看似容易，但错误率很高的模块。孩子学到了一定的程度后容易达到一个瓶颈，表现就是做题有一点思路，但总是无法考虑全面，发现做错后答案一看就懂，可如果自己的方法和答案的方法不一样的话，往往就不知道自己错在哪里了。如果你家孩子有以上的问题，那么这篇文章应该可以解决大部分的问题。
这篇文章我侧重于学习思路不说具体方法，因为难点不在于方法的学习而是运用。
特点
小奥的计数无论是范围还是难度，都不会比高考简单，所以这个模块我建议还是要深入学习，是少数几个对中学课内有帮助的模块之一。计数可以培养学生的有序思维能力，严谨思维、有条不紊的分析问题和解决问题的能力，这些都是中学生必须具备的能力。
做计数最重要的是什么呢，很多人都会说是“不重不漏”，这其实是一句正确的废话，真知道了就肯定能做对了。除了细心外，计数主要是考察对一个题目的抽象能力。也就是读完题目之后，能够反应出来这个题目和之前哪个模型最类似，整体上要用什么方法。具体做题中如何分类和分步，这其实是一种天赋，不过后天训练也可以获得。
我觉得计数学不好的孩子，一般都是因为懒，这个懒包括两层意思：
一个是行动上的懒，就是做题时候懒得枚举，懒得写过程，老是希望能看出答案。
一个是思维上的懒，就是就题论题，做完题目懒得总结。
难点
不同模块的“难”是不一样的，比如组合的“难”，是没见过几乎做不出来，因为你很难想到那个方法。而计数正好相反，所有的方法都学过（因为就那么几个），但是做题的时候往往不知道该用哪个。计数的“难”，更像是多个基础知识点叠加后的结果，学习时候需要反复消化、吸收和沉淀。具体来说有以下几个方面：
一、从实际问题中抽象出特定的数学模型
无论是什么计数问题，抛开表面，都能寻找一个对应模型，找到模型以后，我们只需要研究这个模型即可。比如说几何计数，题目问的是数这个图里面到底有多少个三角形，可是一般我们都不关心三角形，而是数顶点或者边。让我们计算长方形数量，其实就是数有多少组的对边。
另外很多题目，一字之差方法就完全不一样，如果不注意审题，很可能直接用错了方法。比如下面这几道题目。
§ 将6个相同的球放进3个相同的盒子，不允许有空盒
§ 将6个相同的球放进3个不同的盒子，不允许有空盒
§ 将6个不同的球放进3个相同的盒子，不允许有空盒
§ 将6个不同的球放进3个不同的盒子，不允许有空盒
§ 将6个相同的球放进3个相同的盒子，允许有空盒
§ 将6个相同的球放进3个不同的盒子，允许有空盒
§ 将6个不同的球放进3个相同的盒子，允许有空盒
§ 将6个不同的球放进3个不同的盒子，允许有空盒
（答案分别为：3、10、90、540、7、28、122、729）
二、容易忽略隐藏的限制条件
这是解题时候常见的大坑，解决不好就容易“重”和“漏”，很多计数问题的题干都不长，看似只有1-2个限制条件，可当实际做题的时候，就会发现在解题过程中，这个条件背后居然还有隐藏的条件。
这些隐藏条件，一般都是和大小、顺序、染色先后、间隔、捆绑有关系。而如何在同时满足这些条件的前提下，还能做到不重不漏（也可以用容斥解决）还是挺难的。
三、不同方法计算量相差比较大
一般情况下，老师或者答案只给1-2种方法，而计数几乎每一道题目都有多重方法。自己知道的那种方法可能是常见的方法，但不一定是最优的方法，或许本来就没有最优的方法，但一定有最适合理解的方法。
比如还是小球的题目，四年级导引第22讲《计数综合一》超越篇第1题的第4小问，这个答案是分了3种情况讨论，我见过所有的老师也是这么讲，这种做法只能说是中规中矩，但还是停留在了表面。
四年级导引第22讲《计数综合一》
下面我们来重新研究这道题目，题干里面说了球的数量足够多，并且可以重复，那么就是属于可重复性的组合问题，可以转化为标数法，所以答案就是C（8,3）=56，方法熟练的话连图都不用画，口算即可。
如果我们总结一下，就是从数量足够多的m种不同的元素中（每种至少n个），取出n个可以重复的元素进行组合，那么总数就是C（m+n-1，n）种。
到这里还没有结束，我们还可以换个角度考虑，假设6种小球分别取了a、b、c、d、e、f个，那么a+b+c+d+e+f=3，问题转化为求这6个未知数有多少组自然数解，可以用插板法计算，答案也为C（8,3）。
通过这个例子我们看到，方法越简单，那么分类越细致，在思考上也越少，但是计算量上会增大。有可能一道题目，有人写了半张纸，分类了好几种情况，而有的人写了一个式子就列出来了。
方法越复杂通用型越强，虽然计算量少很多，可要考虑的问题也越多，也越容易出错。一般情况下，除非你对自己非常有信心，我建议在计算量可以接受的前提下，优先简单方法。
四、很难验证是否正确
这是计数的一大特点，也是计数题目正确率的低的主要原因之一。以至于我平时不做没有答案的计数题。
应对
一、打好枚举基础
计数的关键在于枚举能力，这对加乘原理、传球法等的理解极其重要。乘法原理中乘法适用的前提就是，每一种情况都是一样的才可以用乘法。如果情况不一样，那么就得用加法，如果枚举的基础不行，后面没有理由学好。我们都希望把一个问题利用几个排列组合数轻松解决，实际上，大多数有难度的计数题目都是需要分类讨论的。
计数是为了解决一个具体问题，答题者需要设计一个方案来解决这个具体问题。我们在设计方案的时候，一定要确保每一步都是没有问题，枚举就是确保我们方案的严谨性。
比如下面这道4年级导引第11讲《加法原理与乘法原理》超越篇第7题，很多人估计连答案都看不懂。其实这道题的做法没问题，就是作者只写了完整答案的后半部分，前半部分没写出来，如果你枚举的基本功非常好，那么一看答案就知道为什么要这么分类。
4年级导引第11讲《加法原理与乘法原理》
只有把上一道题做明白了，枚举的基本功才算是过关了。
二、错题的打磨
有一种学会是自己以为的学会，有一种正确是答案的正确。每次都是记得正确的做法，而不知道自己错在哪里，是解决不了问题的，特别是对于计数这种就是几个知识点来回用的模块，如果理解有偏差必然会做错，没出错就是题目还不够复杂。
不知道自己哪里错了更可怕。所以计数就是不停地通过错题来打磨自己的知识体系，目标是让自己的知识网络尽量完整没有漏洞。不要满足只用一种方法做对，而是用多种方法。一旦发现了某一种方法的答案是错误的，那么就是学习提高的机会。做计数题最重要的是把哪里做错了搞清楚了，而不是哪里做对了。
三、化归思想
学习排列组合目的之一是培养将复杂问题简单化的能力。遇到难题没有思路的时候，一个常见操作是将问题通过分解和简化解决。就从最基础的1-2个数量开始研究，在这个过程中找规律，在研究了几个情况后，往往就有思路了，这个就是前面说的不能“懒”。如果看不懂答案，那么将数字简化，去除掉计算的影响后，更容易理解答案的思路。
在研究过程中，组合数公式最好掌握，掌握这些公式后，就会发现，很多种做法其实都是一种做法，只是我们选择的方案不一样，本质上都是一回事。
四、通过刷题融会贯通
没有一定数量的题目来来支撑，前面的说法都是空谈，只有做题才是检验水平的唯一标准。每当看到一个题，不要把它往已经有的方法里面去套，而是分析这个题到底考的是什么，那我用哪种方法做出来更合理，数量累计到一定阶段必然会引起质变。
我在前面提到，计数就是那么几个方法来回用，之所以有那么多的题目，不过就是对应的变化而已，所以我几乎没有提到具体方法，因为孩子学习缺的不是具体方法，而是在做题中如何“悟”这些方法。只做题不总结，就是用战术上的勤奋来掩盖战略上的懒惰。
总结
认为学奥数只用于小升初，学完了就扔一边的，我觉得是没有真正体会到数学的精髓，抱有这种思想大概率学不好奥数。生活中有太多问题和数学相关，和计数相关的也非常多，引导孩子学以致用，发现数学的美和意，才是最大的收获。
转自小花生匿名爸
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